如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90°,角C=60°,BC=24,P是BC边上的一动点,（点P与BC不重合）,过动点P作PD平行BA交AC于D.（1） 当PC等于多少时,三角形APD的面积最大,是多少?（2） 若以线段AC为直径的圆和以

如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90°,角C=60°,BC=24,P是BC边上的一动点,（点P与BC不重合）,过动点P作PD平行BA交AC于D.（1） 当PC等于多少时,三角形APD的面积最大,是多少?（2） 若以线段AC为直径的圆和以
如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90°,角C=60°,BC=24,P是BC边上的一动点,（点P与BC不重合）,过动点P作PD平行BA交AC于D.
（1） 当PC等于多少时,三角形APD的面积最大,是多少?
（2） 若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆外切,求线段BP的长.

如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90°,角C=60°,BC=24,P是BC边上的一动点,（点P与BC不重合）,过动点P作PD平行BA交AC于D.（1） 当PC等于多少时,三角形APD的面积最大,是多少?（2） 若以线段AC为直径的圆和以
1）设CP/BC=k ,则CD/CA也等于k ,同理PD/AB,还有角BAC=90°,角C=60°,BC=24,所以AC=12,AB=12√3
则PD=（12√3）k ,AD=12-12k ,ΔAPD的面积为：S=1/2*（12√3)k*(12-12k）
容易发现S取最大,则12k=12-12k ,k=1/2,则CP=24k=12 S=18√3
2）在三角形中余弦定理公式：c^2=a^2+b^2-2*a*b*COS(C)
在两个圆的圆心和点C三点构成的三角形中运用此定理：
得：
（18-12k)^2=6^2+(12+12k)^2-6(12+12k)*COS(60°)
解得k=1/3
则BP=24-24k=16

1. SΔAPD=1/2PD*AD
因为∠ACB=60º ∠BAC=90º
所以AC=1/2BC=12 则AD=12-CD
因为PD‖AB
所以∠PDC=90º
又因为∠ACB=60º
所以DC=1/2PC PD=√3/2PC (√代表根号，我找不到...

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1. SΔAPD=1/2PD*AD
因为∠ACB=60º ∠BAC=90º
所以AC=1/2BC=12 则AD=12-CD
因为PD‖AB
所以∠PDC=90º
又因为∠ACB=60º
所以DC=1/2PC PD=√3/2PC (√代表根号，我找不到根号的表示方法）
所以SΔAPD=1/2*PD*AD=1/2*√3/2PC*(12-1/2PC)
=√3/4PC(12-1/2PC)
=-√3/8PC²+3√3PC
这是个抛物线，知道那个公式么，y=aX²+bx+c.若a＜0，当x=-b/2a时 y最大。-b/2a 是抛物线的中心轴，a＜0，抛物线口子向下开，所以只有最大值。
所以当PC=-3√3/(-2*√3/8)=12时，SΔAPD面积最大。

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∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P

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∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:
在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a
作FN⊥AO交于AO于F
则CM=nX，EC=√(n^2+1)X
OM=OC-CM=nX/2-nX
BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X
OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2
由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：
X=an^2/[2(n^2+2)]
∵ ΔABF∽ΔCEO
∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1
BF=OE*EC:AF
∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC
∵ AF:FN=BC:AC
∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC
∵ AF:EC=AB:OC
∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC
=(1:n)*(BC:EC)-2/n
∵ EC:BC=EM:AB=X:a
∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n
将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4
当n=2时，OF:OE=8/4=2

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