如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC（1）求证：AE⊥DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求FG/AF值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 11:56:52

如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC（1）求证：AE⊥DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求FG/AF值
如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求FG/AF值

如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC（1）求证：AE⊥DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求FG/AF值
(1),因为 AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC,
所以∠DAE=1/2 ∠BAD,∠ADE=1/2 ∠ADC,
又因为 AB//CD,（平行四边形的两条对边互相平行）
所以 ∠BAD+∠ADC=180度.（两直线平行,同旁内角互补）
所以 ∠DAE+∠ADE=1/2( ∠BAD+∠ADC)=1/2*180度=90度.
所以在三角形ADE中,∠AED=90度.
所以 AE⊥DE.
(2),连接圆心O,与点E,则：OA=OE,（圆的半径）
所以∠OAE=∠AEO,（三角形OAE是等腰三角形）
又AE平分∠DAB,∠BAE=∠OAE,
所以∠BAE=∠AEO,（等量代换）
所以AB//OE,（内错角相等,两直线平行）
又AD//BC,AB//CD,AB=CD,（平行四边形的两条对边互相平行且相等）
所以 OE=CD=5,（四边形OECD是平行四边形）
所以AD=2OE=10,（AD是直径）
所以 DE^2=AD^2-AE^2=10^2-8^2=6^2,（勾股定理）
DE=6,
又直角三角形AFG,直角三角形AED （∠BAG=∠AED,∠AFG=∠AED=90度）
是相似三角形,（易证）
所以FG/AF=ED/AE=6/8=3/4.

解(1)AB‖CD
∠BAD+∠CDA=180°
∠EAD=∠EAB且∠CDE=∠ADE,∠ADE+∠EAD+∠AED=180°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE
(2)AB=CD=5
∵AD‖CE
∴∠ADE=∠CED
∴CE=CD=5
同理AB=BE=5
∴AD=10
又∵AE=8，∠AED=90°

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解(1)AB‖CD
∠BAD+∠CDA=180°
∠EAD=∠EAB且∠CDE=∠ADE,∠ADE+∠EAD+∠AED=180°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE
(2)AB=CD=5
∵AD‖CE
∴∠ADE=∠CED
∴CE=CD=5
同理AB=BE=5
∴AD=10
又∵AE=8，∠AED=90°
∴DE=6
∵∠BAE=∠EAD,∠AFG=∠AED=90°
∴⊿AFG∽⊿AED
∴FG/AF=DE/AE=3/4

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