已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)＞0在(0,+∞)上恒成立.(1)求函数F(x)=f(x)/x的单调区间 (2)若函数f(x)=lnx+ax∧2,求满足题目条件的实数a的取值范围 (3)设x0是f(x)的零点,m,n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 19:43:50

已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)＞0在(0,+∞)上恒成立.(1)求函数F(x)=f(x)/x的单调区间 (2)若函数f(x)=lnx+ax∧2,求满足题目条件的实数a的取值范围 (3)设x0是f(x)的零点,m,n
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)＞0在(0,+∞)上恒成立.(1)求函数F(x)=f(x)/x的单调区间 (2)若函数f(x)=lnx+ax∧2,求满足题目条件的实数a的取值范围 (3)设x0是f(x)的零点,m,n∈(0,x0),求证f(m+n)/f(m)+f(n)

已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)＞0在(0,+∞)上恒成立.(1)求函数F(x)=f(x)/x的单调区间 (2)若函数f(x)=lnx+ax∧2,求满足题目条件的实数a的取值范围 (3)设x0是f(x)的零点,m,n
,F'(x) =[ f'(x)*x - f(x)]/x^2 > 0
所以F(x)是增函数,即有单调增区间是(0,+无穷)
f(x)=lnx-ax^2
f'(x)=1/x-2ax
xf'(x)-f(x)=1-2ax^2-lnx+ax^2=1-ax^2-lnx>0在(0,+OO)内恒成立
设g(x)=1-ax^2-lnx
g'(x)=2ax-1/x=(2ax^2-1)/x
(1)a0,单调增
故函数g(x)在x= 根号1/2a时有极小值,即有g(根号1/2a)>0即可.
1-a×1/(2a)-ln根号1/(2a)>0
1/2>1/2ln(1/2a)
ln(1/2a)1/(2e)
即范围是a>1/(2e).

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