作业帮已知函数f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:26:20
已知函数f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
已知函数f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x)
若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
已知函数f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
令2<=t<=4,且t=x+2,则0<=x<=2,
f(t)=f(2+x)=f(2-x),0<=(2-x)<=2
所以f(t)=f(2-x)=2(2-x)-1,
=3-2x(又x=t-2)
=-2t+7.（2<=t<=4）
因为f(x)是偶函数.可令-4<=a<-2,则
2<=-a<=4,f(a)=f(-a)=2a+7,(-4<=a<-2)
令-2<=k<=0,0<=-k<2,
f(k)=f(-k)=-2k-1,(-2<=k<=0)
综上,f(x)=2x+7,(-4<=x<-2)
f(x)=-2x-1,(-2<=x<=0)
题目感觉有点矛盾 因为 既然定义域为R 又怎么对一切实数x。。
f(2+x)=f(2-x)
f(x)=f(4-x)
x∈[0,2] 4-x∈[2,4]
所以当x∈[2,4] f(4-x)=2x-1=-2(4-x)+7
f(x)=-2x+7
又f为偶函数，f(x)=f(-x)
x∈[-4,0]时 -x∈[0,4]
f(x)=f(-x)=-2x-1 x∈[-2,0]
f(x)=f(-x)=2x+7 x∈[-4,-2]