已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x属于[1,正无穷大).求f(x)的最小值,其中a属实数是(x^2+2x+a)/x

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 19:09:52

已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x属于[1,正无穷大).求f(x)的最小值,其中a属实数是(x^2+2x+a)/x
已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x属于[1,正无穷大).求f(x)的最小值,其中a属实数
是(x^2+2x+a)/x

已知函数f(x)=x^2+2x+a/x,x属于[1,正无穷大).求f(x)的最小值,其中a属实数是(x^2+2x+a)/x
f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2,x≥1
设1≤x2<x1,则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)=(x1-x2)(1-a/x1x2)
①a<1时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x)=x+a/x+2是增函数,最小值为 f(1)=3+a;
②a≥1时,f(x)=x+a/x+2≥2+2根号a(当且仅当x=a/x即时取等),最小值为2+2根号a.