作业帮数列an满足a1=1,且An=2a(n-1)+2^n(n大于等于2,且属于正自然数)证明an/2^n是等差数列.并求an的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:54:03
数列an满足a1=1,且An=2a(n-1)+2^n(n大于等于2,且属于正自然数)证明an/2^n是等差数列.并求an的前n项和Sn
数列an满足a1=1,且An=2a(n-1)+2^n(n大于等于2,且属于正自然数)
证明an/2^n是等差数列.
并求an的前n项和Sn
数列an满足a1=1,且An=2a(n-1)+2^n(n大于等于2,且属于正自然数)证明an/2^n是等差数列.并求an的前n项和Sn
An=2a(n-1)+2^n,两边都除以2^n,得到
an/2^2 = a(n-1)/2^(n-1) + 1
所以{an/2^n}是等差数列,记做bn,则首项是1/2,公差是1,bn = n-1/2
因为bn = an/2^n,则an = bn * 2^n
典型的等差乘以等比,用错位相减法求和
Sn = a1+...+an = b1 * 2 + b2 * 2^2 +...+ bn * 2^n
2Sn = b1 * 2^2 + b2 * 2^3 + ...+ bn * 2^(n+1)
两个式子相减,化简就能算出
Sn = (2n-3) * 2^n + 3
1.
An=2a(n-1)+2^n
An/2^n=2a(n-1)/2^n+1
An/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
An/2^n即首项为A1/2^1=1/2,公差为1的等差数列。
2.
由上得:
An/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
An/2^n=(1/2)+1*(n-1)=n-1/2
An=n*2^n-2...
全部展开
1.
An=2a(n-1)+2^n
An/2^n=2a(n-1)/2^n+1
An/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
An/2^n即首项为A1/2^1=1/2,公差为1的等差数列。
2.
由上得:
An/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
An/2^n=(1/2)+1*(n-1)=n-1/2
An=n*2^n-2^(n-1)
Sn=[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+(n-2)*2^(n-2)+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-[2^n-1]
2Sn=[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-2)*2^(n-1)+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-[2^(n+1)-2]
两式相减：
-Sn=[2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^(n-1)+2^n-n*2^(n+1)]-[-2^n+1]
=2(2^n-1)-n*2^(n+1)+2^n-1
=(2-2n+1)2^n-3
=(-2n+3)2^n-3
Sn=(2n-3)2^n+3
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