作业帮在三角形ABC中,AC=2.BC=1,COSC=3/4,求AB的值,和SIN(A+C)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 13:27:13
在三角形ABC中,AC=2.BC=1,COSC=3/4,求AB的值,和SIN(A+C)的值
在三角形ABC中,AC=2.BC=1,COSC=3/4,求AB的值,和SIN(A+C)的值
在三角形ABC中,AC=2.BC=1,COSC=3/4,求AB的值,和SIN(A+C)的值
设△ABC,AC=2,BC=1,
过A作AD⊥BC交BC于D,
∵cosC=3/4,
令AC=4t,DC=3t,BD=1-3t,
4t=2,∴t=1/2,
∴CD=3/2＞BC,
∴∠CBA是钝角,D在CB的延长线上.
BD=CD-CB=3/2-1=1/2.
AD²=AC²-CD²
=4-9/4
=7/4,
∴AD=√7/4.
AB²=AD²+BD²
=7/4+1/4
∴AB=√2.
∵∠A+∠C=∠ABD,
∴sin（A+C）=sin∠ABD=AD/AB
=(√7/2)/√2
=√14/4.
cosC=(AC²+BC²-AB²)/2ACBC=(4+1-AB²)/4=3/4，AB=√2
sinC=√(1-cos²C)=√(1-9/16)=√7/4
sinA=BC·sinC/AB=(1·√7/4)/√2=√14/8
cosA==(AB²+AC²-BC²)/2ACAB=(2+4-1)/(4√2)=5√2/8
sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=(√14/8)(3/4)+(5√2/8)(√7/4)
=3√14/32+5√14/32=√14/4
用余弦定理求AB长
AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cosC=2
AB=√2
同样，用余弦定理求cosB
cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)=-(√2)/4
sinB＝√（1-cosB^2)=(√14)/4
sin（A+C)=sin(π－B)=sinB=(√14)/4
AB=根号2 sinB=(根号7)/16