已知函数f(x)=a-1/绝对值x绝对值 1.求证函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数2.若f(x)<2x在(1,正无穷)上恒成立,求实数a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 18:15:17

已知函数f(x)=a-1/绝对值x绝对值 1.求证函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数2.若f(x)<2x在(1,正无穷)上恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=a-1/绝对值x绝对值 1.求证函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数
2.若f(x)<2x在(1,正无穷)上恒成立,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=a-1/绝对值x绝对值 1.求证函数y=f(x)在(0,正无穷)上是增函数2.若f(x)<2x在(1,正无穷)上恒成立,求实数a的取值范围
(1)在(0,正无穷)上x都为正,所以f(x)=a-1/x
f(x)的导函数为1/x²在(0,正无穷)上是恒大于0的,所以
f(x)在(0,正无穷)上是增函数.
(2)f(x)<2x在(1,正无穷)上恒成立,所以x恒大于0,
f(x)<2x即a-1/x<2x
2x²-ax+1>0,即要使该式在(1,正无穷)恒成立,
只要使 2x²-ax+1的最小值在(1,正无穷)上恒大于0即可.
(下面是求 2x²-ax+1最小值的步骤)
记 g(x)=2x²-ax+1.它的对称轴为x=a/4
当a/4<1时 (即对称轴在x=1的左边),a<4,
g(x)的最小值为g(1)=2-a+1>0得a<3,即a<3满足题意
当a/4>1时(即对称轴在x=1的右边),a>4,
g(x)的最小值为g(a/4)=1-a²/8>0得a²<8,-2√24,所以
-2√2所以实数a的取值范围是a<3