设二次函数y=ax²-2x+2对于满足1≤x≤4的一切x的值都有y＞0,求实数a的取值范围

设二次函数y=ax²-2x+2对于满足1≤x≤4的一切x的值都有y＞0,求实数a的取值范围
设二次函数y=ax²-2x+2对于满足1≤x≤4的一切x的值都有y＞0,求实数a的取值范围

设二次函数y=ax²-2x+2对于满足1≤x≤4的一切x的值都有y＞0,求实数a的取值范围
【分析】分为3种情况：
第1种 a不等于0,并且f(x)=ax^2-2x+2 10,x∈(1,4)等价于
(1)a>0,△=4-8a1/2
(2)a>0,1/a>0,f(4)>0,∴无解
(3)a>0,1/a0,∴a>1
当a0,x∈(1,4),等价于f(1)>0,f(4)>0,∴a>0,a>3/8,∴a>3/8,与a1/2

a=0
y=2-2x,对于1a不等于0
y=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a)
a<0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾
a>0
i) 对称轴1/a在（1...

全部展开

a=0
y=2-2x,对于1a不等于0
y=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a)
a<0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾
a>0
i) 对称轴1/a在（1，4）左边,1/a<=1 即，a>=1时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)=a>＝0
所以a>=1成立
ii) 对称轴1/a在（1，4）右边,1/a>=4 即，a<=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)>＝0即a>=3/8
所以0iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1<=1/a<=4 即，1/4<=a<=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a>＝0即a>=1/2
所以1/2<=a<=1成立
综上所述,a的取值范围是[1/2,+∞)

收起

ax²-2x+2>0即a>(2x-2)/x^2=-2[(1/x)-1/2]^2+1/2在1≤x≤4上恒成立，
又因为-2[(1/x)-1/2]^2+1/2在1≤x≤4上的最大值等于1/2
所以a>1/2