作业帮数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:51:19
数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
下面这个方法较简单：
a(n+1)=3an+3^(n+1),两边同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
设an/ 3^n=bn,则b(n+1)=bn+1,
这说明数列{bn}是公差为1的等差数列,首项为b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.
a1=3=1*3^1;
a2=3*3+3^2=18=2*3^2;
a3=3*18+3^3=81=3*3^3;
a4=3*81+3^4=4*3^4;
...
因此，a(n)=n*3^n。
或者：
∵a(n+1)=3*a(n)+3^(n+1)
∴a(n)=3*a(n-1)+3^n=3(3*a(n-2)+3^(n-1))+3^n)
...
全部展开
a1=3=1*3^1;
a2=3*3+3^2=18=2*3^2;
a3=3*18+3^3=81=3*3^3;
a4=3*81+3^4=4*3^4;
...
因此，a(n)=n*3^n。
或者：
∵a(n+1)=3*a(n)+3^(n+1)
∴a(n)=3*a(n-1)+3^n=3(3*a(n-2)+3^(n-1))+3^n)
=3^2*a(n-2)+2*3^n=3^2*(3*a(n-3)+3^(n-2))+2*3^n
=3^3*a(n-3)+3*3^n=...
=3^(n-1)*a1+(n-1)*3^n=3^(n-1)*3+(n-1)*3^n=3^n+(n-1)*3^n
=n*3^n。
收起
an=(n+2.5)*3^(n-1)-0.5