设函数f(x)=x+1/a的绝对值+x-a的绝对值(a大于0)(1)证明f(x)大于等于2(2)若f(3)小于5,求a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 04:45:32

设函数f(x)=x+1/a的绝对值+x-a的绝对值(a大于0)(1)证明f(x)大于等于2(2)若f(3)小于5,求a的取值范围
设函数f(x)=x+1/a的绝对值+x-a的绝对值(a大于0)
(1)证明f(x)大于等于2
(2)若f(3)小于5,求a的取值范围

设函数f(x)=x+1/a的绝对值+x-a的绝对值(a大于0)(1)证明f(x)大于等于2(2)若f(3)小于5,求a的取值范围
1)证明:
f(x)=|x+1/a|+|x-a|,a>0
表示x轴上点x到点-1/a和点a的距离之和
当且仅当-1/a=2
所以:
f(x)>=2
2)
f(3)=|3+1/a|+|3-a|

(1)当x>a时,f(x)=2x-a+1/a>a+1/a由均值不等式此时f(x)>=2
当-1/a=2
当x<-1/a时,f(x)=-2x+a-1/a>a+1/a>=2
综上,f(x)大于等于2
(2)f(3)=3+1/a<5,则1/a<2 又a>0,所以a>1/2

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