已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A,B两点,且P(-3,0)(1)若点D(0,3),求∠APB的正切值;(2)当点D在y轴上运动时,求tan∠APB的最大值;

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 03:13:03

已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A,B两点,且P(-3,0)(1)若点D(0,3),求∠APB的正切值;(2)当点D在y轴上运动时,求tan∠APB的最大值;
已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A,B两点,且P(-3,0)
(1)若点D(0,3),求∠APB的正切值;
(2)当点D在y轴上运动时,求tan∠APB的最大值;

已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A,B两点,且P(-3,0)(1)若点D(0,3),求∠APB的正切值;(2)当点D在y轴上运动时,求tan∠APB的最大值;
(1)
C(-4,0),圆C的半径为r = 2
CD² = (-4 - 0)² + (0 - 3)² = 25,CD = 5,圆D的半径为R = CD - r = 5 - 2 = 3
不妨设A上B下,A(0,6),B(0,0)
tan∠APB = AB/PB = 6/3 = 2
(2)
D(0,d)
R = √(16 + d²) - 2
A(0,d + R),B(0,d - R)
PA的斜率u = (d + R)/3
PB的斜率v = (d - R)/3
f(d) = tan∠APB = (u - v)/(1 + uv)
= 6R/(9 + d² - R²)
= 6[√(16 + d²) - 2]/[4√(16 + d²) - 11]
f'(d) = -18d/{√(16 + d²)[4√(16 + d²) - 11]²}= 0
d = 0
tan∠APB的最大值 = 6[√(16 + 0) - 2]/[4√(16 + 0) - 11]
= 12/5

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