在Rt三角形ABC中,∠C=90度,∠A=30度,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上,若BC=4,∠APC=120度,则BP=
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:50:37
在Rt三角形ABC中,∠C=90度,∠A=30度,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上,若BC=4,∠APC=120度,则BP=
在Rt三角形ABC中,∠C=90度,∠A=30度,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上,若BC=4,∠APC=120度,则BP=
在Rt三角形ABC中,∠C=90度,∠A=30度,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上,若BC=4,∠APC=120度,则BP=
分两种情况
第一种,点P在三角形ABC外如图中点P
这时角ABC+角APC=120度,可得ABCP是圆内接四边形
所以角BPA=角BCA=90度
由已知,AB=2BC=8,角PBA=30度,
所以PA=4,PB=4根号3
第二种,点P在三角形ABC内
在第一种情况中,可求出角PAC=角PCA=30度,
可得PC=PA,且角APC=120度
所以以点P为圆心,PA为半径作圆必经过点C
设这个圆与BP交于点P'
有弧AP'C=120度,它所对的优弧AmC=240度,
得角AP'C=120度,所以点P' 即为满足条件的点P
这时PP'=PA=4
所以BP'=BP-PP'=4根号3-4
综上,所求BP长为4根号3或4根号3-4
以C为坐标原点,CB、CA所在直线为X轴、y轴,作平面直角坐标系
所以:C(0,0),B(4,0),A(0,4√3),D(0,4√3 / 3)
所以:BD的方程为:y=-(√3 / 3)x + 4√3 / 3
所以:设P点的坐标为(-√3y+4,y)
所以:向量PA=(√3y-4,4√3-y),向量PC=(√3y-4,-y)
因为:∠APC=120º...
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以C为坐标原点,CB、CA所在直线为X轴、y轴,作平面直角坐标系
所以:C(0,0),B(4,0),A(0,4√3),D(0,4√3 / 3)
所以:BD的方程为:y=-(√3 / 3)x + 4√3 / 3
所以:设P点的坐标为(-√3y+4,y)
所以:向量PA=(√3y-4,4√3-y),向量PC=(√3y-4,-y)
因为:∠APC=120º
所以解得:y=2√3,x=-2
所以:P点的坐标为(-2,2√3)
所以:BP=4√3
收起
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,点P在射线BD上,若BC=4,∠APC=120°,则BP长为 因为 角C=90度,角A=30