作业帮欧拉公式的疑问在《复变函数》中,讲“幂函数”时,其一个复数(包含实数)的无理数幂,有无穷多个值.为何讲“指数函数”时,其一个实数的复数(包含无理数)幂,却只有一个值?还有：讲“幂函
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 13:10:40
欧拉公式的疑问在《复变函数》中,讲“幂函数”时,其一个复数(包含实数)的无理数幂,有无穷多个值.为何讲“指数函数”时,其一个实数的复数(包含无理数)幂,却只有一个值?还有：讲“幂函
欧拉公式的疑问
在《复变函数》中,讲“幂函数”时,其一个复数(包含实数)的无理数幂,有无穷多个值.为何讲“指数函数”时,其一个实数的复数(包含无理数)幂,却只有一个值?
还有：讲“幂函数”时，e^(1/2)有两个值；讲“指数函数”时，e^(1/2)只有一个值。
欧拉公式的疑问在《复变函数》中,讲“幂函数”时,其一个复数(包含实数)的无理数幂,有无穷多个值.为何讲“指数函数”时,其一个实数的复数(包含无理数)幂,却只有一个值?还有：讲“幂函
①“幂函数”讲的是“代数开方”,其一个复数(包含实数)的无理数幂,当然有无穷多个值.
②“指数函数”讲的是“算术开方”,其一个实数的复数(包含无理数)幂,只能有一个值.
③“幂函数”和“指数函数”的关系,就象“平方根”和“算术平方根”的关系一样.
呵……你一定是没把这里面的宾语看清，像这样的句子，一定要先分析结构，才能理解他的意思。
“幂函数”时，其一个复数(包含实数)的无理数幂，
“指数函数”时，其一个实数的复数(包含无理数)幂
第一句的宾语是：无理数幂 而结果是无穷多个值
第二句的宾语是：复数幂 而结果是一个值
可是复数幂的范围要比无理数幂大，但结果却一个值，原因就是他的（第二句的）前...
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呵……你一定是没把这里面的宾语看清，像这样的句子，一定要先分析结构，才能理解他的意思。
“幂函数”时，其一个复数(包含实数)的无理数幂，
“指数函数”时，其一个实数的复数(包含无理数)幂
第一句的宾语是：无理数幂 而结果是无穷多个值
第二句的宾语是：复数幂 而结果是一个值
可是复数幂的范围要比无理数幂大，但结果却一个值，原因就是他的（第二句的）前提（定语）是实数，限制了范围，实数是不包含复数的，已经把范围限制了。
还有一个更简单的解释是：实数有一个，而复数无穷（这是复数这最简单的道理），至于为什么可以这么理解看我上面写的。
书上这句话纯粹就是倒你呢……
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很深奥！
幂函数z^a定义成 exp[ alog(z) ]，因为 log 是多值的，所以幂函数是多值的。
按照上面的定义， 指数函数 e^z=exp[ z log(e) ] 也应该是多值的。所以在有的复分析课本中，用 exp(z) 和 e^z 来分别表示多值的和单值的。
比如如果 exp(z)表示单值，exp(z) = \sum z^k/k!
如果 e^z 表示多值， e^z =...
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幂函数z^a定义成 exp[ alog(z) ]，因为 log 是多值的，所以幂函数是多值的。
按照上面的定义， 指数函数 e^z=exp[ z log(e) ] 也应该是多值的。所以在有的复分析课本中，用 exp(z) 和 e^z 来分别表示多值的和单值的。
比如如果 exp(z)表示单值，exp(z) = \sum z^k/k!
如果 e^z 表示多值， e^z = exp[ z log(e) ]
所以这问题更多的是一个符号规定的问题，事先说清楚，不至于造成混淆就行了。
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