作业帮在正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,以AE为一边做角EAF=45度,AF交直线BC于点F,连接DF,若AB=6,BE=2,则线段DF的长为多少?3倍根号13,或,6倍根号2.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 22:15:18
在正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,以AE为一边做角EAF=45度,AF交直线BC于点F,连接DF,若AB=6,BE=2,则线段DF的长为多少?3倍根号13,或,6倍根号2.
在正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,以AE为一边做角EAF=45度,AF交直线BC于点F,连接DF,若AB=6,BE=2,则线段DF的长为多少?
3倍根号13,或,6倍根号2.
在正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,以AE为一边做角EAF=45度,AF交直线BC于点F,连接DF,若AB=6,BE=2,则线段DF的长为多少?3倍根号13,或,6倍根号2.
很明显,点F可能在BC的延长线上,也可能在CB的延长线上.
∴需要分两种情况进行处理.
一、当点F在BC的延长线时,延长CD至G,使DG＝BE＝2；令AF与CD相交于H.
∵ABCD是正方形,∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADG＝90°,又BE＝DG,∴△ABE≌△ADG,
∴∠BAE＝∠DAG、AE＝AG.
∵ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,又∠EAH＝45°,∴∠BAE＋∠DAH＝45°,
∴∠DAG＋∠DAH＝45°,∴∠GAH＝45°.
由AE＝AG、AH＝AH、∠EAH＝∠GAH＝45°,得：△AEH≌△AGH,∴EH＝GH,
∴EH＝DG＋DH＝BE＋DH＝2＋DH.
显然有：CH＝CD－DH＝AB－DH＝6－DH、∠ECH＝90°、CE＝BC－BE＝6－2＝4.
∴由勾股定理,有：EH^2＝CH^2＋CE^2,∴（2＋DH）^2＝（6－DH）^2＋16,
∴4＋4DH＋DH^2＝36－12DH＋DH^2＋16,∴16DH＝48,∴DH＝3,∴CH＝3.
显然有：HC∥AB,又CH＝3、AB＝6,∴CH是△FAB的中位线,∴CF＝BC＝6.
∴由勾股定理,有：
DF＝√（CD^2＋CF^2）＝√（36＋36）＝6√2.
二、当点F在CB的延长线时,为了与上述情况一的点F区分开来,令此时的点F为K.
∵∠AEK＝∠AGH、AE＝AG、∠EAK＝∠GAH＝45°,∴△AEK≌△AGH,∴EK＝GH,
∴BE＋BK＝DG＋DH,∴BK＝DH＝3,∴CK＝BC＋BK＝6＋3＝9.
∴由勾股定理,有：
DK＝√（CD^2＋CK^2）＝√（36＋81）＝3√13.
即：此时的DF＝3√13.
综上所述,得：满足条件的DF的长是3√13,或6√2.