已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 14:19:15

已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0,若在区间{-1/2,1/2}上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

f′(x)=3ax²-3x=3x(ax-1).

令f′(x)=0,解得x=0或x=1/a.

以下分两种情况讨论:

①若0<a≤2

则1/a≥½

当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:(图1)

当x∈[﹣½,½]时

f(x)>0等价于

f(-½)>0

f(½)>0

即(5-a)/8>0

     (5+a)/8>0

解得:-5<a<5

∴0<a≤2

②若a>2

则0<1/a<½

当x变化时f’(x),f(x)的变化如下表:(图2)

当x∈[-½,½]时

f(x)>0等价于

f(-½)>0

f(1/a)>0

即(5-a)/8>0

   1-(1/2a²)>0

解得:√2/2<a<5  或者  a<-√2/2

综合①、②所述:

0<a<5