作业帮求∫x^4/(x+1)^(1/2)dx值的范围?有没有巧解的方法！最好一眼能看出来什么门道
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:36:02
求∫x^4/(x+1)^(1/2)dx值的范围?有没有巧解的方法！最好一眼能看出来什么门道
求∫x^4/(x+1)^(1/2)dx值的范围?
有没有巧解的方法！最好一眼能看出来什么门道
求∫x^4/(x+1)^(1/2)dx值的范围?有没有巧解的方法！最好一眼能看出来什么门道
本题问题的是取值范围,那应该是估值,而非计算.
只需运用定积分的性质即可
m(b-a) ≤∫ [a-->b] f(x) dx ≤M(b-a)
其中M与m分别表示f(x)在[0,1]内的最大值和最小值
本题中：[x⁴/(x+1)^(1/2)]'=4x³/(x+1)^(1/2)-1/2x⁴/(x+1)^(3/2)
=x³/(x+1)^(1/2)*(4-x/(2x+2))>0 x∈(0,1)
因此被积函数单增,则m=f(0)=0,M=f(1)=1/√2
因此本积分值的范围是(0,1/√2)
不过一般这种估值法主要用于积分算不出来时才用的,象本题对于一个能求出的积分运用这个方法,确实少见.
令t = √(x + 1) => t² = x + 1 => 2tdt = dx
∫ x⁴/√(x + 1) dx
= 2∫ (t² - 1)⁴ dt
= 2∫ (t⁸ - 4t⁶ + 6t⁴ - 4t² + 1) dt
= 2[t⁹/9 - (4/7)t̿...
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令t = √(x + 1) => t² = x + 1 => 2tdt = dx
∫ x⁴/√(x + 1) dx
= 2∫ (t² - 1)⁴ dt
= 2∫ (t⁸ - 4t⁶ + 6t⁴ - 4t² + 1) dt
= 2[t⁹/9 - (4/7)t⁷ + (6/5)t⁵ - (4/3)t³ + t] + C
= 2[(1/9)(x + 1)^(9/2) - (4/7)(x + 1)^(7/2) + (6/5)(x + 1)^(5/2) - (4/3)(x + 1)^(3/2) + √(x + 1)] + C
= (2/315)(32x⁴ - 40x³ + 48x² - 64x + 128)√(x + 1) + C
你所指的范围是什么？
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