作业帮已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,a≠1)是区间[0,+∞]上的增函数,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:18:48
已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,a≠1)是区间[0,+∞]上的增函数,求a的取值范围.
已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,a≠1)是区间[0,+∞]上的增函数,求a的取值范围.
已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,a≠1)是区间[0,+∞]上的增函数,求a的取值范围.
我来回答吧,你应该是高三的吧,我用高三的知识回答,请以后注明
已知函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0,a≠1)
根据指数函数定义,a>0
对函数求导
f(x)'=a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x
当f(x)'=0时,f(x)值最大,即
a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x=0
a^x(a^x-3a^2-1+a^x)=0
2a^x-3a^2-1=0
x=log(3a^2/2+1/2)
此时进行讨论：
i)a>1时
当x>log(3a^2/2+1/2)时,2a^x-3a^2-1>0,a^x(a^x-3a^2-1)+a^2x>0,即f(x)'>0,
f(x)为增函数
同理x
根号3/3<=a<1
令y=a^x
分类讨论：
1）a属于(0,1)
则x在[0,+∞)上增时，y在(0,1]上减。
又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析
得3a^2+1>=2
所以a属于[3分之根号3,1)
2）a属于(1,+∞)
则x在[0,+∞)上增时，y在[1,+∞)...
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根号3/3<=a<1
令y=a^x
分类讨论：
1）a属于(0,1)
则x在[0,+∞)上增时，y在(0,1]上减。
又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析
得3a^2+1>=2
所以a属于[3分之根号3,1)
2）a属于(1,+∞)
则x在[0,+∞)上增时，y在[1,+∞)上增。
又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析
得3a^2+1<=2
所以a无解
综上，a属于[3分之根号3,1)
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