求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 08:17:16

求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!
求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域
如题!

求函数：y=(sinx+α)(cosx+α)的值域如题!
y=(sinx+α)(cosx+α)=sinxcosx+α（sinx+cosx）+α^2.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2）,则sinxcosx=（t^2-1）/2,∴y=(t^2+2at+2a^2-1)/2=[(t +a )^2]/2+(a^2-1)/2.
⑴当a＞√2时,t=-√2取得最小值,t=√2时取得最大值,值域为：[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].
⑵a＜-√2时,t=√2取得最小值,t=-√2时取得最大值,值域为：[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
⑶当-√2≤a≤√2时,t=-a最小值（a^2-1）/2,最大值是t=±√2函数值较大的一个.

原式可变形为y=1/2*[(sinx+cosx)+a]^2+[a^2-1]/2.因sinx+cosx=2sin(x+π/4),故sinx+cosx∈[-√2,√2].故问题可化为求二次函数y=1/2*[x+a]^2+[a^2-1]/2在[-√2,√2]上的值域问题。根据a的取值范围作相应的分类讨论，结合二次函数的单调性，数形结合即可求的值域。

全部展开

y=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a^2.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2），
则sinxcosx=（t^2-1）/2，
∴y=f(t)=(t^2+2at+2a^2-1)/2=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. （-√2≤t≤√2）
函数f(t)是开口向上,对称轴t= -a的抛物线.
问题转化为二次函数在闭区间最值问题.
动轴定区间.
分对称轴在闭区间左侧,之中,右侧讨论,其中区间中点是一个重要界点.
①a＜-√2，f(x)在[-√2，√2]上是减函数，
f min=f(√2)= a^2+√2a+1/2，
f max=f(-√2)= a^2-√2a+1/2，
②当-√2≤a<0,
f min=f(-a)=（a^2-1）/2,
f max=f(√2).
③0f min=f(-a)=（a^2-1）/2,
f max=f(-√2).
④当a＞√2时，f(x)在[-√2，√2]上是增函数，
f min=f(-√2)
f max=f(√2)，
综上：
当 a＜-√2 时，值域为[a^2+√2a+1/2,a^2-√2a+1/2].
当-√2≤a<0时，值域为[（a^2-1）/2, a^2+√2a+1/2].
当0当 a＞√2 时, 值域为[a^2-√2a+1/2,a^2+√2a+1/2].

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