作业帮如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:42:37
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点
(1)证明:AP^2+PB*PC=16
(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100）,求M1+M2+M3……+M100的值
1、作BC中点O,连接AO,有BO=CO,设P在OC上,有BP=BO+OP,CP=CO-OP=BO-OP,则BP*CP=BO^2-OP^2,而AB^2=AO^2+BO^2,则16＝AB^2=(AO^2+OP^2)+(BO^2-OP^2)=AP^2+BP*CP.
2、由P的任意性知：Mi＝16,答案＝1600
1、作AD垂直BC于D
在Rt△ADP中，
AP²=AD²+DP²
在Rt△ABD中，
AB²=BD²+AD²
∴AB²-AP²=(BD²+AD²)-(AD²+DP²)=BD²-DP²=(BD－DP)×(BD＋DP)
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1、作AD垂直BC于D
在Rt△ADP中，
AP²=AD²+DP²
在Rt△ABD中，
AB²=BD²+AD²
∴AB²-AP²=(BD²+AD²)-(AD²+DP²)=BD²-DP²=(BD－DP)×(BD＋DP)
∵AB=AC=4且AD垂直BC
∴BD=CD
∴BD－DP=PC,BD＋DP=BP
∴AB²-AP²=BP×PC
2、M1+M2+M3……+M100
=（AP1²＋P1B×P1C）＋（AP2²＋P2B×P2C)……（AP100²＋P100B×P100C）
=（AP1²＋AB²-AP1²)＋（AP2²＋AB²－AP2²）……（AP100²＋AB²－AP100）
=100AB²
∵AB=4
∴AB²=16
∴M1+M2+M3……+M100=100AB²=100×16=1600
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