作业帮已知远C：x^2+y^2*24x-28y-36=0若有一点Q（4,2）,过Q作AQ⊥BQ,交圆于A、B,求动弦AB的中点的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:40:54
已知远C：x^2+y^2*24x-28y-36=0若有一点Q（4,2）,过Q作AQ⊥BQ,交圆于A、B,求动弦AB的中点的轨迹方程
已知远C：x^2+y^2*24x-28y-36=0若有一点Q（4,2）,过Q作AQ⊥BQ,交圆于A、B,求动弦AB的中点的轨迹方程
已知远C：x^2+y^2*24x-28y-36=0若有一点Q（4,2）,过Q作AQ⊥BQ,交圆于A、B,求动弦AB的中点的轨迹方程
P(4,2)是圆C:x^2+y^2-24x-28y-36=0内的一点,圆上的动点A,B满足∠APB=90°
Q(x,y)
2x=xA+xB,2y=yA+yB
4x^2=(xA+xB)^2
4y^2=(yA^2+yB)^2
x^2+y^2-24x-28y-36=0
(xA)^2+(yA)^2-24xA-28yA-36=0
(xB)^2+(yB)^2-24xB-28yB-36=0
[(xA)^2+(yA)^2-24xA-28yA-36]+[(xB)^2+(yB)^2-24xB-28yB-36]=0
(xA)^2+(xB)^2+(yA)^2+(yB)^2-24*(xA+xB)-28*(yA+yB)-72=0
(xA+xB)^2-2xA*xB+(yA+yB)^2-2yA*yB-24*2x-28*2y-72=0
4x^2+4y^2-48x-56y-72=2(xA*xB+yA*yB)
PA⊥PB
[(yA-2)/(xA-4)]*[(yB-2)/(xB-4)]=-1
(xA-4)*(xB-4)+(yA-2)*(yB-2)=0
xA*xB+yA*yB=4(xA+xB)+2(yA+yB)-20
xA*xB+yA*yB=4*2x+2*2y-20
16x+8y-40=2(xA*xB+yA*yB)
4x^2+4y^2-48x-56y-72=16x+8y-40
x^2+y^2-16x-16y-8=0
AB中点Q的轨迹方程是园:(x-8)^2+(y-8)^2=136
由于△ABQ中，∠AQB为直角，所以设AB中点M（x，y），则MQ= ，再构建圆中弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，可构建方程．设AB中点M（x，y），则∵Rt△ABQ∴MQ= 设AB到圆心的距离为d，r2-d2=[ ]2=MQ2，即：r2=MQ2+d2
又r2=376，MQ2=（x-4）2+（y-2）2，d2=（x-12）2+（y-14）2，∴376=（x-4）2+（y-2）2+...
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由于△ABQ中，∠AQB为直角，所以设AB中点M（x，y），则MQ= ，再构建圆中弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，可构建方程．设AB中点M（x，y），则∵Rt△ABQ∴MQ= 设AB到圆心的距离为d，r2-d2=[ ]2=MQ2，即：r2=MQ2+d2
又r2=376，MQ2=（x-4）2+（y-2）2，d2=（x-12）2+（y-14）2，∴376=（x-4）2+（y-2）2+（x-12）2+（y-14）2
即162=（x-8）2+（y-8）2
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