已知函数f(x)=2COS2x+2倍根三sinxcosx.求函数在[负六分之派,三分之派上的值域]会的说下

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:15:37

已知函数f(x)=2COS2x+2倍根三sinxcosx.求函数在[负六分之派,三分之派上的值域]会的说下
已知函数f(x)=2COS2x+2倍根三sinxcosx.求函数在[负六分之派,三分之派上的值域]
会的说下

已知函数f(x)=2COS2x+2倍根三sinxcosx.求函数在[负六分之派,三分之派上的值域]会的说下
f(x)=2COS²x+2√3sinxcosx
=(1+cos2x)+√3sin2x
=√3sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+π/6)+1,
X∈[-π/6,π/3],2x+π/6∈[-π/6,5π/6],
∴sin(2x+π/6) ∈[-1/2,1],
2sin(2x+π/6)+1∈[0,3],
函数值域为[0,3].

f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx
=2cos2x+√3sin2x
=2(1/2cos2x+√3/2sin2x)
=2(cosπ/3cos2x+sinπ/3sin2x)
=2cos(π/3-2x)
因为-π/6<=x<=π/3
-π/3<=-x<=π/6
-2π/3<=-2x<=π/3
-π/3<=π/3-2x<=2π/3
所以，-1/2<=cos(π/3-2x)<=1/2
-1<=2cos(π/3-2x)<=1
即值域为[-1,1]

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