已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意实数x都有f(x+1)=1-f(x),且当x属于[0,1]时f(x)=x说明：y=f（x）是周期函数当x属于[-1，1]时求函数f（x）解析式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 00:45:22

已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意实数x都有f(x+1)=1-f(x),且当x属于[0,1]时f(x)=x说明：y=f（x）是周期函数当x属于[-1，1]时求函数f（x）解析式
已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意实数x都有f(x+1)=1-f(x),且当x属于[0,1]时f(x)=x
说明：y=f（x）是周期函数
当x属于[-1，1]时求函数f（x）解析式

已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意实数x都有f(x+1)=1-f(x),且当x属于[0,1]时f(x)=x说明：y=f（x）是周期函数当x属于[-1，1]时求函数f（x）解析式
所以 f(x+1)=1-f(x) …… 1
因为y=f(x)是定义在R上的偶函数
所以,f(x+1)=1-f(-x)
令 t＝－x
所以 f(1-t) = 1- f(t) …… 2
1式减2式得,f(1+x) = f(1-x)
令 1+x＝a
所以,f(a) =f(2-a)
令 a-2 ＝ b
所以,f(b) = f(b+2)
所以函数为周期函数．
当x属于[-1,1]时,f(x)=｜x｜
注意：这里要证明周期函数,必须化成 f(x) = f( x+T) 的形式,T为周期!

f(x+1)=1-f(x)
所以f(-x+1)=1-f(-x)
y=f(x)是定义在R上的偶函数
得f(-x)=f(x) 对称轴为x=0
所以f(-x+1)=1-f(-x)=1-f(x)=f(x+1)
所以对称轴又为x=1
所以该函数为周期函数
f(x)=/x/