由频响函数如何得到幅频特性和相频特性曲线?

由频响函数如何得到幅频特性和相频特性曲线?
由频响函数如何得到幅频特性和相频特性曲线?

由频响函数如何得到幅频特性和相频特性曲线?
首先分析离散时间系统在指数序列 （ ）输入下的响应.设系统是因果的,单位样值响应为 ,根据卷积公式,响应
（4.6-1）
上式花括号中的项为 在 处的值,设 存在,于是
（4.6-2）
该式说明,系统在指数序列输入条件下,响应也为指数序列,其权值为 .
若取 ,也即 （ ）,则有
（4.6-3）
由于输入序列的计时起点为负无限大,按式（4.6-3）求得的响应应该是有始输入 的稳态解.一般为复数,可用幅度和相位表示为
（4.6-4）
于是,输出为
（4.6-5）
该式表明,系统引入的幅度改变因子为 ,相位改变量为 .
若输入为正弦序列
（4.6-6）
则输出
（4.6-7）
其中
在以上推导过程中,要求 必须存在,也即 的收敛域必须包含单位圆,或者说 的全部极点要在单位圆内.
当输入由两个不同频率的复指数序列的线性组合构成时,由线性系统的叠加性质,其输出为相应输出的线性组合,即
其中 和 可以是复数.
随频率 的变化称为离散时间系统的频率响应.称为幅度函数,而 称为相位函数.由于 为 的周期函数,周期为 ,因而 也是 的周期函数.
例如,若系统函数
设a为实数,,则频率响应函数为
幅度函数和相位函数分别为
按以上两式绘出的幅频特性和相频特性如图4.6-1所示,它们均是周期的.
(a)幅频响应 (b)相频响应
图4.6-1 频率响应
当 为实序列时,由z变换定义式
与 成共轭关系,则有
（4.6-8）
（4.6-9）
即幅度函数是频率的偶对称函数,而相位函数是频率的奇对称函数,考虑到它们都是以 为周期的,故在 范围内,幅频特性以 为中心对称,相频特性以 为中心奇对称,见图4.6-1.因此,在绘制离散时间系统的频率特性时,只需要绘出 范围内的频响曲线.
根据系统函数的极零点分布,也可以通过几何作图方法简单而直观地绘出离散系统的频率响应,这与连续系统中频率响应的几何作图类似.考虑仅有一个极点和一个零点的系统函数
用 置换z,频率响应为
参看图4.6-2,从极点指向 点的矢量称为极点矢量,从零点指向 点的矢量称为零点矢量.当 从0到 变化时,点沿单位圆移动,极点矢量和零点矢量随着发生变化.当 离极点比较近时,极点矢量的模 相对较小,幅度函数则较大,当 离零点比较近时,零点矢量的模 相对较小,幅度函数也相对较小.按这种方法,可粗略地绘出幅频特性.
图4.6-2 频率响应的几何绘制
例4.6-1 试绘制 的幅频响应和相频响应.
解 ,,的极零点分布如图4.6-2所示.当 时,极点矢量的模最小,在该频率传递函数的幅度最大,可计算出
随着 的增加,极点矢量的模增大,而零点矢量的模减小,因而幅度函数不断变小；在 处,极点矢量最大,零点矢量最小,因而幅度函数最小,其值为
幅频响应如图4.6-3(a)所示.
相频响应也可用几何作图的方法绘出,对每一频率,它等于零点矢量的辐角减去极点矢量的辐角,相频响应如图4.6-3(b)所示.
(a) (b)
图4.6-3 的频率响应
例4.6-2 传递函数 ,试定性绘制幅频响应.
解 传递函数的极点和零点分别为 ,,如图4.6-4(a)所示.可求出
当 从0开始增加时,如图4.6-4(b)所示,幅度为
随着 的增加,和 增大,而 和 减小,极点 离 点最近,它起主导地位,由于 随 增加而减小,因而幅度的总趋势增大；当 增加到图4.6-4(c)位置时,非常小,幅度达到极大值；随着 的继续增加,越来越小,当 时,点位于零点上,故幅度为零；当 进一步增加时,如图4.6-4(d)所示,和 减小,而 和 增大,零点 离 点最近,起主导地位,由于 随 增加而增大,则幅度的总趋势不断增加；在 处,可求出
幅频响应如图4.6-5所示.
(a) (b)
(c) (d)
图4.6-4 频率响应的几何确定
图4.6-5 幅频响应