抛物线方程y=ax^2+bx+c的焦点怎么计算?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:57:08

抛物线方程y=ax^2+bx+c的焦点怎么计算?
抛物线方程y=ax^2+bx+c的焦点怎么计算?

抛物线方程y=ax^2+bx+c的焦点怎么计算?
由抛物线标准公式y^2=2px可见抛物线的焦点距离其顶点的距离只由二次项系数a决定,将方程写成标准式,即y=a(x+m)^2+k,其中m=b/2a,k=(4ac-b^2)/4a,则得(x+m)^2=(y-k)/a,即得p=1/2a,由抛物线的性质可知抛物线的焦点在距顶点1/8a处,顶点坐标为(-m,k),因此抛物线的焦点为(-m,k+1/8a),即(-b/2a,(8ac+1-2b^2)/8a).

应该化为标准方程。
先化为y=a[x+b/(2a)]²+(4ac-b²)/(4a)
于是 [x+b/(2a)]²=(1/a)[y+(b²-4ac)/(4a)]
令x'=x+b/(2a),y'=y+(b²-4ac)/(4a),则有
x'²=(1/a)y',在x'O'y'内,焦点为(0,1/(4a) )
于是在xOy坐标系内,焦点为( -b/(2a),(1+4ac-b²)/(4a) )。

原方程可化为(x+b/2a)^2=[y-(c-b^2/4a^2)]/a,因此焦点坐标为(0,1/4a)向左移动b/2a,向上移动c-b^2/4a^2,即(-b/2a,c-b^2/4a^2+1/4a)

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