已知,如图,梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求证EF=DH
已知,如图,梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求证EF=DH
已知,如图,梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求
证EF=DH
已知,如图,梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求证EF=DH
证明:设DH交AC于点E
因为AB=CD,AD//BC,所以:梯形ABCD是等腰梯形
则∠ABC=∠DCB
又BC是公共边
所以△ABC≌△DCB (SAS)
则∠ACB=∠DBC
又AC⊥BD
所以△BOC是等腰直角三角形
则∠ACB=∠DBC=45°
而由AD//BC得∠CAD=45°
因为DH⊥BC亦即DH⊥AD
所以△ADE和△CEH都是等腰直角三角形
则AD=DE,CH=EH
又易知CH=1/2 *(BC-AD)
所以DH=DE+EH=AD+1/2 *(BC-AD)=1/2 *(BC+AD) (1)
因为EF为梯形ABCD的中位线,所以:
EF=1/2 *(BC+AD) (2)
所以由(1).(2)两式可知:EF=DH
作DM平行AC交BC的延长线于点M。
则四边形ACMD是平行四边形,AD=CM,DM=AC。
因为梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,所以,AC=BD,所以,BD=DM。
因为AC垂直BD,DM平行AC,所以,BD垂直DM。
所以,三角形BDM是等腰直角三角形,DH是斜边BM的高,
所以,DH也是斜边BM的中线,所以,DH=1/2BM=1/2(BC+C...
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作DM平行AC交BC的延长线于点M。
则四边形ACMD是平行四边形,AD=CM,DM=AC。
因为梯形ABCD中,AB=CD ,AD∥BC,所以,AC=BD,所以,BD=DM。
因为AC垂直BD,DM平行AC,所以,BD垂直DM。
所以,三角形BDM是等腰直角三角形,DH是斜边BM的高,
所以,DH也是斜边BM的中线,所以,DH=1/2BM=1/2(BC+CM)=1/2(BC+AD)。
因为EF是梯形的中位线,所以,EF= 1/2(BC+AD)。
所以,EF=DH。
收起
证明:过D作DG∥AC交BC延长线于G,
∵AD∥BC,∴AD=CG,且DG=AC=DB,又AC⊥BD,∴△DBG是等腰直角三角形,DH是斜边上的高
∴DH=BG/2=(BC+CG)/2=(BC+AD)/2
∵EF=(BC+AD)/2,∴EF=DH
证毕