矩阵的值域空间是什么,值域空间的正交空间是什么?求教
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:52:25
矩阵的值域空间是什么,值域空间的正交空间是什么?求教
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这里涉及到矩阵的四个基本空间,即矩阵A的值域空间,零空间和矩阵A’的值域空间和零空间.\
设A是m*n的矩阵,称其列向量构成的子空间为A的值域空间,R(A),即任意n*1维的向量x,有Ax=b,b是A值域空间中的一个元素,所有的b构成了A的值域空间.A的零空间由所有满足方程Ax=0的x构成,N(A).同理我们也可以得到A‘的值域空间和零空间.
关于正交空间,其定义为:设M是内积空间V的子空间,N为M的正交空间,那么N中的任意向量均与M中的任意向量正交,即
N={x属于V | = 0(即m'x=0),对所有的m属于M都成立}
矩阵A的值域空间的正交空间是其转置A'的零空间.证明如下:
设x属于R(A)的正交空间,那么便存在=0,此处的Ay用于表示R(A),进而可以得到:y'A'x=0,此处用到了转置的运算性质(AB)’=B‘A’.而根据y'A'x=0,我们可以得到=0,由y取值的任意性,我们可以得到A'x=0,即x属于A’的零空间N(A'),进而得到R(A)的正交空间是N(A')的结论.
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