数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说
数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说
数学归纳法不能证明
对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.
我不得不重新说明的是，我并不是想 要怎么证明这个命题，而是要讨论
特别是 类似这样的问题！五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法
数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说
数学归纳法应该是1.当n=1的时候成立.2.当n=k成立时,n=k+1时也成立
首先,n=1时,显然是成立的
若n=k的时候成立,即 (1/2*(1-(1/2)^k))/(1-1/2)=1-(1/2)^k
首先，对不起，一开始没用数学归纳法是因为不能理解你的叙述，因为我认为你要求不用数学归纳法来证明。
其次，我认为你的题目大概是要证明
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
而不是1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n <1
那么我们现在用数学归纳法来证明：1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
你只...
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首先，对不起，一开始没用数学归纳法是因为不能理解你的叙述，因为我认为你要求不用数学归纳法来证明。
其次，我认为你的题目大概是要证明
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
而不是1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n <1
那么我们现在用数学归纳法来证明：1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
你只要把这个命题变一下就可以证明了，你证明出1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n =1-1/2^n就可以了，相信这个证明对你而言是很简单的。而1-1/2^n<1。也就是1-1/2^n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1。
凡是有确定极限或边界的不等式证明，你只要通过证明这个极限和边界的存在就可以证明不等式的成立。而我认为你说的单纯通过数学归纳法来证明原不等式命题确实不行。
如果你学过等比数列，那么就好办了
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n
=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=1-1/2^n<1
如果你没学过，你可以想象一样东西，你拿掉一半，再拿掉剩下的一半，再拿剩下的一半......无论你重复多少次，也不可能拿掉比最开始全部的还要多
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1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n+1/n-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-2)+1/(n-2)-1/n
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1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n+1/n-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-2)+1/(n-2)-1/n
: : : :
=1/2 + 1/4 + 1/8 +1/8-1/n
=1/2 + 1/4 +1/4-1/n
=1-1/n<1
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不知道 你是不是大学生 用级数很好证明的~ R<1时 级数收敛~
你到大学时候就明白了~高等数学的知识
将该题改一下形式,可用数学归纳法证明,证明了原题的结论.
试证:1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n<1.
证明 当n=1时,1/2=1-1/2<1,命题成立.当n=k时命题成立,考虑n=k+1时的情况,由归纳法假设得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^...
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将该题改一下形式,可用数学归纳法证明,证明了原题的结论.
试证:1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n<1.
证明 当n=1时,1/2=1-1/2<1,命题成立.当n=k时命题成立,考虑n=k+1时的情况,由归纳法假设得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
于是n=k+1时命题成立.
"五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法"回答这个说法.
当n=k时命题成立,才有/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n
于是得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
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n趋近无穷大且为正整数时, 1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n正好等于1
有两种小学生应该也会懂的方法
方法一：设我有一根木棒，长度设为一个单位，锯一半给你，这时你有1/2，（我剩1/2根木棒）
我从剩下的1/2中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4，（我剩1/4根木棒）
我从剩下的1/4中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4+1/8，……，
第n次时，我手中总是剩下1/n根木棒，而你有1/2 + 1/4 + 1/8 +....1...
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有两种小学生应该也会懂的方法
方法一：设我有一根木棒，长度设为一个单位，锯一半给你，这时你有1/2，（我剩1/2根木棒）
我从剩下的1/2中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4，（我剩1/4根木棒）
我从剩下的1/4中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4+1/8，……，
第n次时，我手中总是剩下1/n根木棒，而你有1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1-1/n<1
方法二：设我有一张正方形纸，设面积为1，撕一半给你，
第二次再撕剩下的一半，……同上理，我最后剩1/n，而你只能得1-1/n<1
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把1写成一个等比数列的和式
1=1/2+1/4+1/8+..........
准确说上面是大于号的
那么结论显然啊
这个也是解决不等式的构造数列的常见方法
同意四楼的,这种用幂级数做相当快,而且你学下去就知道如何把看似很难的不等式证明变成简单的,在高中主要就是等差,等比数列的变形
首先 像这类题你是可以用数学归纳法证明的 当然看你愿不愿意
数学归纳法运用的条件就是： 是正整数 n趋于无穷大 有这两个条件就可以适用数学归纳法证明了 方法相信lz肯定知道 这就不多说了
然后像这类题一般用极限方法做是会很快得出结果的 到了高三就会学的极限
现在先教你这个公式 ：等比数列中求和公式S=a1(1-q^n)/1-q
当0＜q＜1时 你可以发现 ：当n...
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首先 像这类题你是可以用数学归纳法证明的 当然看你愿不愿意
数学归纳法运用的条件就是： 是正整数 n趋于无穷大 有这两个条件就可以适用数学归纳法证明了 方法相信lz肯定知道 这就不多说了
然后像这类题一般用极限方法做是会很快得出结果的 到了高三就会学的极限
现在先教你这个公式 ：等比数列中求和公式S=a1(1-q^n)/1-q
当0＜q＜1时 你可以发现 ：当n取无穷大时 q^n将趋于0
所以我们可以将公式化为：S=a1/1-q(0＜q＜1)
所以就很容易将上面的式子进行简单化简得出结果
希望这样说明对你会有帮助
新年快乐哈~
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数学归纳法处理的证明题所在的数学模型一般为单调函数,其单调性应当与要证明的不等式有对应的关系(比如说,f(x)为增函数,要证的是f(n)(n为整数)≥某数k),当所要证明的不等式与题中所给的函数模型无此对应关系时,用数学归纳法就没有意义了:
比如说楼主的命题,我们可以知道1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n +1/(n+1)＞1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n ...
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数学归纳法处理的证明题所在的数学模型一般为单调函数,其单调性应当与要证明的不等式有对应的关系(比如说,f(x)为增函数,要证的是f(n)(n为整数)≥某数k),当所要证明的不等式与题中所给的函数模型无此对应关系时,用数学归纳法就没有意义了:
比如说楼主的命题,我们可以知道1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n +1/(n+1)＞1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n 但这对我们证明这道题有帮助么?没有。因为我们要得出的是一个小于关系，这种大于关系无法进行变形。所以说这道题只能通过其他手段来解决，比如楼上说的等比数列求和公式等等。
另外说一句,这道题不能说不能用数学归纳法证明,而是用不着,用了等于没用。
因为我也很喜欢数学归纳法，所以希望以后和楼主多多讨论
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1/2=1-1/2
1/2+1/4=1-1/4
1/2+1/4+...1/n=1-1/n<1
很明显啊。