已知函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),对任意实数x,y属于(-1,1)都成立.求证f(x)为奇函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:55:36

已知函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),对任意实数x,y属于(-1,1)都成立.求证f(x)为奇函数
已知函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),对任意实数x,y属于(-1,1)都成立.求证f(x)为奇函数

已知函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),对任意实数x,y属于(-1,1)都成立.求证f(x)为奇函数
f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
令x=y=0,得:
f(0)+f(0)=f(0)
即f(0)=0………………(1)
令y=-x,的:
f(x)+f(-x)=f(0)
f(x)+f(-x)=0
即f(x)=-f(-x)………………(2)
根据(1)和(2)得知:
f(x)为奇函数.

证明:
令x=y=0,则
2f(0)=f(0),得f(0)=0
令y=-x,则
f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x),
x∈(-1,1)
∴f(x)是奇函数
得证
谢谢